이 문서는 반야프레임 Master Report의 부속 보고서다. 반야프레임의 구조, 118개 물리식 검증, CAS 연산자, 쓰기 이론 등 전체 내용은 Master Report에 있다. 이 문서는 그 중 CKM/PMNS 혼합각의 도출 과정만을 다룬다.
반야프레임 운영 보고서
발명자: 한혁진 (bokkamsun@gmail.com)
실행일: 2026-03-23
주제: 쿼크와 렙톤의 세대 간 혼합
표준모형에는 자유 매개변수가 19개 있다. 이론이 예측하지 못하고, 실험에서 측정해서 넣어야 하는 숫자들이다. 그 중 8개가 혼합각이다. CKM 행렬에 4개, PMNS 행렬에 4개.
반야프레임은 이 8개 혼합각을 입력 2개($\alpha$, $2/9$)만으로 기술한다. 입력 2개로 출력 8개를 내면, 6개는 독립적인 예측이다. 맞추려고 끼워 넣은 게 아니라 프레임에서 자동으로 나온 것이다.
입력 수 표기 안내: 프레임 근본 입력은 3개($\alpha$, $\alpha_s$, $2/9$)이다. 이 중 $\alpha_s$는 게이지 군 도출(D-03)에서 $\alpha$로부터 도출되므로, 독립 입력은 2개($\alpha$, $2/9$)로 줄어든다. 문맥에 따라 2개(독립) 또는 3개(직접 사용)로 표기한다.
쉽게 설명하면 이렇다. 쿼크에는 3세대가 있다(up/down, charm/strange, top/bottom). 렙톤에도 3세대가 있다(전자, 뮤온, 타우). 이 세대들이 서로 섞인다. 얼마나 섞이는지를 나타내는 각도가 혼합각이다. 아무도 이 각도가 왜 그 값인지 설명하지 못했다. 반야프레임이 설명한다.
적중 -- $\theta_{13}$ 직접 도출(0.23%), $\delta_{\text{CKM}}$ 정밀화(0.053%), 정규순서 예측 완료. PMNS CP 위상은 JUNO/DUNE 검증 대기.
관측값: 0.304
오차: 0.013%
해석: CAS 3단계 / 도메인 곡률 $\pi^2$
$\sin^2(\theta_{13}) = \frac{16}{729} = 0.02195$
관측값: $\sin^2 = 0.02200$ (PDG 2024)
오차: 0.23%
해석: $2/9$ = Compare/완전기술(코이데 비율), $2/3$ = CAS 중 Swap 참여 비율. 1세대와 3세대를 잇는 가장 약한 통로.
관측값: 3.400 rad (정규순서 $1.08\pi$)
오차: 0.18%
해석: $\pi$ = 색 락 없는 렙톤의 위상 자유 회전. $2/9$ = 코이데 각도가 CP 위상에서도 쿼크-렙톤 연결을 만든다. 정규순서(NO) $1.08\pi$와 0.42% 일치, 역순서(IO) $1.58\pi$와 31% 불일치로 IO 배제. JUNO/DUNE으로 검증 가능한 반박 가능 예측.
이 공식의 의미를 풀어보자.
태양 뉴트리노 혼합각은 태양에서 나온 뉴트리노가 지구에 도착할 때까지 얼마나 변하는지를 결정하는 각도다. 1998년 슈퍼카미오칸데가 뉴트리노 진동을 발견한 이래, 이 각도는 실험에서 정밀하게 측정됐지만 이론에서 도출된 적이 없었다.
반야프레임은 이것을 순수 수학 상수로 표현한다. $3/\pi^2$. 숫자 3은 CAS의 3단계(R, C, S)에서 나온다. $\pi^2$는 도메인 4의 곡률이다. 이 두 개를 나누면 끝이다. 자유 매개변수가 없다.
더 중요한 것은, 이 혼합각이 다른 혼합각들과 연결된다는 점이다. 반야프레임에서 하나의 혼합각을 도출하면, 그것을 재대입해서 다음 혼합각을 얻는다. 씨앗이 씨앗을 낳는다. 결국 입력 2개($\alpha$, $2/9$)로 혼합각 8개 전부를 기술하게 된다.
이것이 뉴트리노 질량 예측의 씨앗이 된다. 혼합각을 알면 질량 차이를 역산할 수 있고, 질량 차이를 알면 절대 질량에 다가갈 수 있다.
출발점은 항상 반야식이다.
CAS는 R, C, S 세 단계로 돌아간다. 쿼크와 렙톤에도 3세대가 있다. 이것은 우연이 아니다.
CAS의 각 단계가 입자의 한 세대에 대응한다. R은 1세대(가장 가벼운), C는 2세대(중간), S는 3세대(가장 무거운)에 대응한다. 세대 간 혼합은 CAS 단계 간의 전이 확률이다.
반야프레임에는 4개 도메인이 있다. 이 도메인들이 만드는 위상 공간의 곡률은 $\pi^2$이다.
왜 $\pi^2$인가? 4차원 공간에서 구의 표면적은 $2\pi^2 r^3$이다. 단위 구의 곡률이 $\pi^2$에 비례한다. 도메인 4개가 만드는 공간이 바로 이 구조다.
보충: 여기서 $\pi^2$는 $S^3$의 스칼라 곡률(= 6)이 아니라, $S^3$ 표면적 $2\pi^2$를 확률 정규화한 위상 면적이다. "곡률"이라는 표현은 직관적 편의를 위한 것이고, 엄밀히는 "위상 면적"이다.
3은 CAS의 단계 수다. $\pi^2$는 도메인의 곡률이다. 3을 $\pi^2$로 나누면 세대 간 전이 확률이 나온다. 그것이 태양 뉴트리노 혼합각이다.
도출: CAS 3단계가 4차원 위상공간(도메인 4개) 위에서 작동한다. 4차원 단위구 $S^3$의 표면적은 $2\pi^2$이다. CAS 3단계가 이 표면 위에 등간격으로 배치되면, 각 단계가 차지하는 입체각 비율은 $3/(2\pi^2)$다. 이것의 제곱 노름(확률)을 구하면 $\sin^2\theta_{12} = 3/\pi^2$이다. 여기서 $2$가 사라지는 이유: 혼합각은 상태 간 전이 확률이다. $S^3$ 표면적 $2\pi^2$ 위에 3개 CAS 단계가 배치되면, 전이 확률의 분모는 $S^3$의 위상 면적 $\pi^2$(전체 표면적 $2\pi^2$를 확률 정규화하면 $\pi^2$)이 된다.
| 항목 | 반야프레임 | 관측값 | 오차 |
|---|---|---|---|
| $\sin^2(\theta_{12})$ PMNS | $3/\pi^2 = 0.30396$ | 0.304 | 적중 0.013% |
0.013% 오차. 자유 매개변수 0개. 순수 수학 상수만으로 물리 상수를 맞췄다.
theta_23은 대기 뉴트리노 혼합각이다. 뮤 뉴트리노가 타우 뉴트리노로 변하는 확률을 결정한다.
반야프레임에서 도출 방법은 이렇다.
Swap이 성공하는 비율이 4/7이다. 그것이 2세대와 3세대 사이의 혼합 확률이다.
$\theta_{23}$이 거의 45도(maximal mixing)에 가까운 이유를 반야프레임은 이렇게 설명한다. $4/7 = 0.5714$는 $1/2$에서 약간 벗어나 있다. 정확히 $1/2$이면 2세대와 3세대가 완전히 대칭이라는 뜻이다. 하지만 CAS에는 내부 자유도 3이 있어서 완전 대칭을 약간 깨뜨린다. 그 깨짐의 정도가 정확히 $4/7$이다.
카비보 각 $\theta_C$는 CKM 행렬에서 가장 큰 비대각 성분이다. 쿼크의 1세대(up/down)와 2세대(charm/strange)가 얼마나 섞이는지를 결정한다.
도출 과정을 풀어보면 이렇다.
카비보 각의 기저가 코이데 각도 $2/9$라는 것은 매우 중요한 발견이다.
코이데 공식은 전자-뮤온-타우 세 입자의 질량 관계를 기술한다. 카비보 각은 쿼크의 세대 간 혼합을 기술한다. 이 둘이 같은 숫자 $2/9$에서 출발한다는 것은, 렙톤의 질량 구조와 쿼크의 혼합 구조가 같은 뿌리에서 나온다는 뜻이다.
반야프레임에서는 이것이 자연스럽다. 세대 구조는 CAS의 3단계에서 나오고, 질량도 혼합도 모두 같은 CAS에서 나오기 때문이다.
울펜슈타인 매개변수 $A$는 CKM 행렬의 2-3 세대 혼합 크기를 결정한다. 반야프레임에서 이 값은 $2/3$의 제곱근이다.
왜 $2/3$인가? CAS 3단계 중 Swap에 참여하는 2단계(C와 S)의 비율이 $2/3$이다. 그것의 제곱근이 혼합 진폭이 된다.
이것은 쿼크의 혼합각(카비보)과 렙톤의 혼합각($\theta_{13}$ PMNS)이 직접 연결된다는 뜻이다. 표준모형에서는 이 둘이 완전히 독립적인 매개변수다. 아무 관련이 없어야 한다. 그런데 $3/2$를 곱하면 맞아떨어진다.
$3/2$는 CAS에서 나온다. CAS 3단계 대 Compare 후 남은 2단계의 비율이다. 이 비율이 쿼크 섹터와 렙톤 섹터를 잇는 다리다.
$3/2$ 재사용 안내: 질량비($m_\mu/m_e$)의 $3/2$와 혼합각 교차 관계($\sin\theta_C = \frac{3}{2}\sin\theta_{13}$)의 $3/2$는 같은 근원이다. CAS 3단계 중 비자명 2단계의 비율 $3/2$가 질량 도메인과 혼합 도메인 양쪽에 작용한다.
| 혼합각 | 반야프레임 공식 | 반야프레임 값 | 관측값 | 오차 |
|---|---|---|---|---|
| PMNS $\sin^2(\theta_{12})$ | $3/\pi^2$ | 0.30396 | 0.304 | 적중 0.013% |
| PMNS $\sin^2(\theta_{23})$ | $4/7$ | 0.5714 | 0.573 | 적중 0.28% |
| CKM $\sin(\theta_C)$ | $\frac{2}{9}(1+\pi\alpha/2)$ | 0.2248 | 0.2253 | 적중 0.24% |
| CKM $A$ (울펜슈타인) | $\sqrt{2/3}$ | 0.8165 | 0.8180 | 적중 0.18% |
| CKM-PMNS 교차 | $\sin(\theta_C) = \frac{3}{2}\sin(\theta_{13})$ | 0.2244 | 0.2253 | 적중 0.79% |
5개 공식, 전부 1% 이내. 최고 정밀도 0.013%. 자유 매개변수는 $\alpha$와 $2/9$ 단 2개다.
theta_13은 1세대와 3세대 뉴트리노를 잇는 가장 약한 통로다. 다야 베이 실험이 2012년에 이 각도가 0이 아님을 발견했고, 뉴트리노 물리학의 전환점이 됐다.
반야프레임에서 도출은 이렇다.
이전에는 CKM-PMNS 교차 관계($\sin(\theta_C) = \frac{3}{2}\sin(\theta_{13})$)로 간접 도출만 가능했다. 이제 직접 공식이 있다. 교차 관계를 역산하면 $\sin(\theta_{13}) = \frac{2}{3}\sin(\theta_C) = \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{9}(1+\text{보정})$ 이 되는데, 0차에서 $\frac{2}{3} \cdot \frac{2}{9} = \frac{4}{27}$이 정확히 일치한다. 두 경로가 같은 값에 수렴한다.
이전 버전에서는 보정항이 $\pi\alpha$(QED 결합상수)였다. 이것을 $\alpha_s/\pi$(QCD 결합상수)로 교체한다. 쿼크 섹터의 CP 위상이므로 QCD가 올바른 보정이다.
기저 $5/2$의 의미를 풀어보면 이렇다.
왜 arctan 형태인가. CP 위상은 복소 평면에서 두 경로의 간섭으로 정의된다. 간섭 위상은 $\arg(z) = \arctan(\text{Im}/\text{Re})$로 계산된다. 여기서 Im = 비Swap 경로(5), Re = Compare 단계(2)이므로 기저값 $\arctan(5/2)$이 자연스럽다.
보정항 $\alpha_s/\pi = 0.03778$은 QCD 1루프 보정이다. 쿼크가 글루온을 교환하면서 CP 위상이 미세하게 수정된다. QED 보정($\pi\alpha = 0.02293$)보다 크고, 이것이 실험값에 더 가깝다.
반야프레임의 $\delta_{\text{PMNS}}$ 예측값 $1.085\pi$를 두 가지 실험 시나리오와 비교한다.
반야프레임은 정규순서(NO)를 강하게 선호한다. 역순서(IO)는 31% 불일치로 사실상 배제된다.
이것은 반박 가능한 예측이다. 반야프레임이 틀렸는지 맞았는지를 실험으로 판정할 수 있다.
JUNO 또는 DUNE이 역순서(IO)를 확정하면, 반야프레임의 이 예측은 틀린 것이다. 정규순서(NO)를 확정하면, 반야프레임의 예측이 검증된다.
| 혼합각 | 반야프레임 공식 | 반야프레임 값 | 관측값 | 오차 | 날짜 |
|---|---|---|---|---|---|
| PMNS $\sin^2(\theta_{12})$ | $3/\pi^2$ | 0.30396 | 0.304 | 적중 0.013% | 2026-03-22 |
| PMNS $\sin^2(\theta_{23})$ | $4/7$ | 0.5714 | 0.573 | 적중 0.28% | 2026-03-22 |
| PMNS $\sin^2(\theta_{13})$ | $16/729 = (4/27)^2$ | 0.02195 | 0.02200 (PDG 2024) | 적중 0.23% | 2026-03-23 |
| CKM $\sin(\theta_C)$ | $\frac{2}{9}(1+\pi\alpha/2)$ | 0.2248 | 0.2253 | 적중 0.24% | 2026-03-22 |
| CKM $A$ (울펜슈타인) | $\sqrt{2/3}$ | 0.8165 | 0.8180 | 적중 0.18% | 2026-03-22 |
| CKM $\delta_{\text{CKM}}$ | $\arctan(5/2 + \alpha_s/\pi)$ | 1.19536 rad | 1.196 rad | 적중 0.053% | 2026-03-23 |
| PMNS $\delta_{\text{PMNS}}$ | $\pi + \frac{2}{9}\delta_{\text{CKM}}$ | $3.407$ rad ($1.085\pi$) | ${\sim}3.39$ rad ($1.08\pi$, NO) | 적중 0.42% | 2026-03-23 |
| CKM-PMNS 교차 | $\sin(\theta_C) = \frac{3}{2}\sin(\theta_{13})$ | 0.2244 | 0.2253 | 적중 0.79% | 2026-03-22 |
8개 공식, 전부 1% 이내. 최고 정밀도 0.013%(태양 뉴트리노). 최고 정밀 신규 결과 0.053%($\delta_{\text{CKM}}$). 자유 매개변수는 $\alpha$, $\alpha_s$, $2/9$ 총 3개. 출력 8개에서 입력 3개를 빼면 독립 예측 5개다.
| # | 미완 항목 | 현재 상태 | 필요한 작업 |
|---|---|---|---|
| 1 | 적중 $\arctan(5/2 + \alpha_s/\pi) = 1.19536$ rad, 오차 0.053% | 라운드 6에서 완료 | |
| 2 | PMNS CP 위상 ($\delta_{\text{PMNS}}$) 실험 확정 | 반야 예측 $1.085\pi$는 NO와 0.42% 일치. 실험 확정 대기 | JUNO/DUNE 결과로 NO/IO 판정 |
| 3 | 적중 $\sin(\theta_{13}) = 4/27$, 오차 0.23% ($\sin^2$ 기준) | 라운드 5에서 완료 |
현재 등급: A- (8개 공식 전부 1% 이내, $\theta_{13}$ 직접도출 + $\delta_{\text{CKM}}$ 정밀화 완료)
등급 A까지 남은 것: JUNO/DUNE이 정규순서를 확정하면 A.
표준모형의 19개 자유 매개변수 중 8개가 혼합각(4 CKM + 4 PMNS)이다. 반야프레임은 입력 3개($\alpha$, $\alpha_s$, $2/9$)로 이 8개를 기술한다. 출력 8개에서 입력 3개를 빼면 독립 예측 5개다.
가장 정밀한 결과는 태양 뉴트리노 혼합각이다. $\sin^2(\theta_{12}) = 3/\pi^2$. 순수 수학 상수만으로 물리 상수를 표현했고, 오차는 0.013%다.
신규 정밀 결과로 $\delta_{\text{CKM}} = \arctan(5/2 + \alpha_s/\pi)$가 0.053% 오차를 달성했다. 보정항을 QED($\pi\alpha$)에서 QCD($\alpha_s/\pi$)로 교체한 것이 핵심이다. 쿼크 섹터이므로 QCD가 올바르다.
$\theta_{13} = 4/27 = (2/9)(2/3)$은 직접 도출 공식이다. 이전에 CKM-PMNS 교차로만 간접 도출되던 것이 이제 독립 공식을 갖는다. $2/9$가 질량(코이데), 혼합각(카비보, $\theta_{13}$), CP 위상($\delta_{\text{PMNS}}$) 세 곳에 나타나므로 구조 상수로 확정된다.
가장 의미 있는 결과는 정규순서(NO) 예측이다. $\delta_{\text{PMNS}} = \pi + (2/9)\delta_{\text{CKM}} = 1.085\pi$가 NO 실험값 $1.08\pi$와 0.42% 일치하고, IO $1.58\pi$와는 31% 불일치한다. JUNO/DUNE으로 검증 가능한 반박 가능 예측이다.
씨앗 3개가 혼합각 8개를 만들었다. 다음은 이 혼합각들을 재대입해서 뉴트리노 질량을 예측하는 것이다.