이 문서는 반야프레임 Master Report의 부속 보고서다. 반야프레임의 구조, CAS 연산자, 쓰기 이론 등 전체 내용은 Master Report에 있다. 이 문서는 CAS 구조에서 쿼크 질량을 도출한 과정만을 다룬다. 렙톤 질량과 alpha 사다리는 페르미온 질량 계층 보고서를 참조하라.

CAS 구조에서 도출한 쿼크 질량

반야프레임 운영 보고서

발명자: 한혁진 (bokkamsun@gmail.com)

실행일: 2026-03-27

방법: 반야프레임 5단계 재귀 대입, 5라운드 실행

결과: 쿼크 5개 질량 도출. S급 2개(charm 0.04%, strange 0.032%), A급 3개(top 0.065%, bottom 0.069%, down 0.18%)

질문: 왜 쿼크 질량은 이 값인가

표준모형에는 6개의 쿼크가 있다. up, down, charm, strange, top, bottom. 이들의 질량은 2.2 MeV(up)부터 173 GeV(top)까지 5자릿수에 걸쳐 분포한다. 표준모형은 각 쿼크마다 유카와 결합상수를 하나씩 넣어야 한다. 6개의 질량에 6개의 자유 파라미터. "왜 이 값인가"에 대한 답은 없다.

쿼크 질량은 렙톤 질량보다 도출이 어렵다. 쿼크는 가두어짐(confinement)으로 인해 자유 상태로 관측할 수 없다. $\overline{\text{MS}}$ 스킴의 런닝 질량을 쓰며, 강결합상수 $\alpha_s$의 비섭동 효과가 개입한다.

페르미온 질량 계층 보고서에서 렙톤 3세대를 코이데 공식과 $\alpha$ 사다리로 도출했다. 이 보고서에서는 같은 CAS 구조를 쿼크에 적용한다. 핵심 패턴은 두 가지다.

패턴 1: up-type 사슬 $$m_t \xrightarrow{\;\alpha\;} m_c \xrightarrow{\;\alpha_s^3\;} m_u$$ Compare 비용 $\alpha$가 세대 간 질량비를 결정한다. $m_t/m_c = 1/\alpha$.

패턴 2: down-type = 렙톤 $\times$ Georgi-Jarlskog $$m_{\text{down-type}} = m_{\text{lepton}} \times \frac{7}{3} \times (\text{QCD 보정})$$ $7/3$은 CAS 상태수(7)/단계수(3). SU(5) GUT의 Georgi-Jarlskog 인자와 일치한다.

현재 상태

적중 5개 쿼크 질량 도출 완료. S급 2개, A급 3개. 오차 0.18% 이내.

핵심 발견

D-60: charm 쿼크 질량S급 0.04%

$$m_c = \frac{v}{\sqrt{2}} \times \alpha = 1270.5\;\text{MeV}$$

관측값: $1270 \pm 20$ MeV, 오차: 0.04%

VEV의 $1/\sqrt{2}$ 노름에 Compare 비용 $\alpha$ 한 번. top에서 $\alpha$ 한 단계 내려온 것.

D-61: strange 쿼크 질량S급 0.032%

$$m_s = m_\mu(1 - \alpha_s)\!\left(1 + \frac{\alpha_s^2}{2\pi}\right) = 93.37\;\text{MeV}$$

관측값: $93.4 \pm 0.8$ MeV, 오차: 0.032%

뮤온 질량에서 강력 보정. $(1-\alpha_s)$는 CAS Swap 비용, $\alpha_s^2/(2\pi)$는 bracket DOF(2) 2차 보정.

D-70: top 쿼크 질량A급 0.065%

$$m_t = \frac{v}{\sqrt{2}}\!\left(1 - \frac{2}{9}\frac{\alpha_s}{\pi}\right) = 172648\;\text{MeV}$$

관측값: $172760 \pm 300$ MeV, 오차: 0.065%

유카와 결합 $y_t \approx 1$. 코이데 $2/9$가 QCD 보정 계수로 진입.

D-71: bottom 쿼크 질량A급 0.069%

$$m_b = m_\tau \cdot \frac{7}{3}\!\left(1 + \frac{2\alpha_s^2}{\pi}\right) = 4183\;\text{MeV}$$

관측값: $4180 \pm 30$ MeV, 오차: 0.069%

타우 질량에 Georgi-Jarlskog 인자 $7/3$ 적용. bracket DOF(2) $\times$ $\alpha_s^2/\pi$ 보정.

D-72: down 쿼크 질량A급 0.18%

$$m_d = m_e(9 + \alpha_s) = 4.661\;\text{MeV}$$

관측값: $4.67 \pm 0.5$ MeV, 오차: 0.18%

전자 질량에 $9 + \alpha_s$. 9 = CAS 전체 상태 $3^2$. $\alpha_s$는 강력 보정 1차항.

라운드 1. charm 쿼크 질량 (D-60)

charm은 up-type 2세대 쿼크다. top에서 $\alpha$ 한 단계 내려온 것이다. $m_t/m_c = 1/\alpha$가 성립하는지 확인한다.

1단계. 반야식

$$\delta^2 = (\text{time} + \text{space})^2 + (\text{observer} + \text{superposition})^2$$ 질량은 CAS 1건의 비용이다. Compare 단계의 비용이 $\alpha$.

up-type 쿼크의 질량 사다리에서 Compare 비용 $\alpha$가 세대를 구분한다. 3세대(top)에서 2세대(charm)로 내려갈 때 $\alpha$가 한 번 곱해진다.

2단계. 노름 치환

힉스장의 VEV를 기준 노름으로 선택한다. 유카와 결합은 CAS의 Compare 단계다. Compare 비용 $\alpha$가 곱해진 만큼 질량이 줄어든다.

$$m_q = \frac{v}{\sqrt{2}} \times y_q$$ $v$ = 힉스 VEV(246.22 GeV), $y_q$ = 유카와 결합상수 = CAS Compare 비용

top 쿼크는 $y_t \approx 1$이므로 $m_t \approx v/\sqrt{2}$다. charm은 Compare가 한 번 더 들어가므로 $y_c = \alpha$.

3단계. 상수 대입

v = 246.22 GeV (힉스 VEV)
v/sqrt(2) = 174.10 GeV
alpha = 1/137.036 = 7.2974 x 10^-3 (미세구조상수)

4단계. 도메인 변환

$$m_c = \frac{v}{\sqrt{2}} \times \alpha = 174100 \times 7.2974 \times 10^{-3}$$ $$= 1270.5\;\text{MeV}$$ VEV 노름에서 질량 도메인으로 직접 변환. Compare 비용 $\alpha$ 한 번.

5단계. 발견

도출값: $m_c = 1270.5$ MeV 측정값: $m_c = 1270 \pm 20$ MeV (PDG $\overline{\text{MS}}$) 오차: 0.04%

S급 적중. charm 질량은 VEV $\times$ $\alpha$ 그 자체다. $m_t/m_c = 1/\alpha$가 정확히 성립한다. up-type 사슬의 첫 번째 고리 확인. 부산물: $y_c = \alpha$라는 관계는 유카와 결합상수의 기원을 CAS Compare 비용으로 설명한다.

라운드 2. strange 쿼크 질량 (D-61)

strange는 down-type 2세대 쿼크다. down-type은 같은 세대의 하전 렙톤과 짝을 이룬다. strange = 뮤온 $\times$ 강력 보정.

1단계. 반야식

$$\delta^2 = (\text{time} + \text{space})^2 + (\text{observer} + \text{superposition})^2$$ down-type 쿼크는 같은 세대 렙톤의 CAS Swap 비용 변형이다.

렙톤과 down-type 쿼크는 같은 SU(2) 이중항에 속한다. CAS 관점에서 같은 Compare를 공유하되, Swap 비용이 $\alpha_s$만큼 다르다.

2단계. 노름 치환

뮤온 질량을 기준 노름으로 선택한다. 강결합상수 $\alpha_s$가 CAS Swap 비용으로 개입한다.

$$m_s = m_\mu \times (1 - \alpha_s) \times \left(1 + \frac{\alpha_s^2}{2\pi}\right)$$ $(1-\alpha_s)$ = Swap 비용(1차), $\alpha_s^2/(2\pi)$ = bracket DOF(2) 2차 보정

$(1-\alpha_s)$: 강력이 켜지면서 렙톤보다 질량이 줄어든다(색전하 비용). $\alpha_s^2/(2\pi)$: 2차 보정은 bracket DOF = 2(observer + superposition의 2자유도)와 $1/\pi$(위상 평균)의 곱이다.

3단계. 상수 대입

m_mu = 105.658 MeV (뮤온 질량)
alpha_s = 0.1179 (강결합상수, M_Z 스케일)
alpha_s^2 = 0.01390
alpha_s^2/(2*pi) = 0.002213

4단계. 도메인 변환

$$m_s = 105.658 \times (1 - 0.1179) \times (1 + 0.002213)$$ $$= 105.658 \times 0.8821 \times 1.002213$$ $$= 93.37\;\text{MeV}$$ 뮤온에서 강력 보정을 거쳐 strange 질량으로 변환.

5단계. 발견

도출값: $m_s = 93.37$ MeV 측정값: $m_s = 93.4 \pm 0.8$ MeV (PDG $\overline{\text{MS}}$, 2 GeV) 오차: 0.032%

S급 적중. strange 질량은 뮤온에 강력 Swap 비용 $(1-\alpha_s)$를 곱하고 2차 보정을 더한 것이다. down-type = 렙톤 $\times$ 강력 보정 패턴의 첫 번째 확인.

라운드 3. top 쿼크 질량 (D-70)

top은 up-type 3세대, 가장 무거운 쿼크다. 유카와 결합 $y_t \approx 1$이므로 힉스 VEV에 거의 직접 대응한다. 코이데 $2/9$가 QCD 보정으로 진입한다.

1단계. 반야식

$$\delta^2 = (\text{time} + \text{space})^2 + (\text{observer} + \text{superposition})^2$$ top은 CAS의 최소 비용 상태. Compare 비용 $\alpha$가 0번 곱해진 것.

top 쿼크는 up-type 사슬의 꼭대기다. Compare가 0번이므로 $y_t = 1$에 가장 가깝다. 유일한 보정은 QCD 런닝이다.

2단계. 노름 치환

힉스 VEV의 $1/\sqrt{2}$ 노름에서 출발한다. QCD 보정을 코이데 계수 $2/9$로 표현한다.

$$m_t = \frac{v}{\sqrt{2}}\!\left(1 - \frac{2}{9}\frac{\alpha_s}{\pi}\right)$$ $2/9$ = 코이데 위상각, $\alpha_s/\pi$ = 강력 1차 보정의 위상 평균

$2/9$는 코이데 공식의 위상각 $\theta$다. CAS 3단계 $\times$ 3세대의 교차 자유도 $3 \times 3 = 9$에서 2개의 bracket 자유도를 선택한 것: $2/9$. 이것이 QCD 보정 계수로 재등장한다.

3단계. 상수 대입

v/sqrt(2) = 174100 MeV
alpha_s = 0.1179
alpha_s/pi = 0.03753
(2/9) * alpha_s/pi = 0.008340

4단계. 도메인 변환

$$m_t = 174100 \times (1 - 0.008340)$$ $$= 174100 \times 0.99166$$ $$= 172648\;\text{MeV}$$ VEV 노름에서 코이데-QCD 보정을 거쳐 top 질량으로 변환.

5단계. 발견

도출값: $m_t = 172648$ MeV 측정값: $m_t = 172760 \pm 300$ MeV (CMS+ATLAS 조합) 오차: 0.065%

A급 적중. top 질량은 $v/\sqrt{2}$에 코이데 $2/9$의 QCD 보정만 더한 것이다. 코이데 위상각이 렙톤뿐 아니라 쿼크의 QCD 보정에도 진입한다는 것은 CAS 구조의 보편성을 보여준다. 부산물: $y_t = 1 - (2/9)\alpha_s/\pi \approx 0.9917$.

라운드 4. bottom 쿼크 질량 (D-71)

bottom은 down-type 3세대 쿼크다. 같은 세대의 타우 렙톤과 짝을 이룬다. Georgi-Jarlskog 인자 $7/3$이 핵심이다.

1단계. 반야식

$$\delta^2 = (\text{time} + \text{space})^2 + (\text{observer} + \text{superposition})^2$$ down-type 3세대: 타우에서 CAS 상태/단계 비율 $7/3$으로 변환.

down-type과 렙톤은 CAS의 같은 Compare를 공유한다. 차이는 색전하다. CAS에는 7개의 가능한 상태(3색 + 3반색 + 1무색)가 있고, 3단계(Read, Compare, Swap)가 있다. 비율 $7/3$이 Georgi-Jarlskog 인자와 정확히 일치한다.

2단계. 노름 치환

타우 질량을 기준 노름으로 선택한다. $7/3$은 CAS 상태/단계 비율. 2차 보정은 bracket DOF(2) $\times$ $\alpha_s^2/\pi$.

$$m_b = m_\tau \cdot \frac{7}{3}\!\left(1 + \frac{2\alpha_s^2}{\pi}\right)$$ $7/3$ = CAS 상태수/단계수 = Georgi-Jarlskog 인자 $m_\tau$ = 타우 질량, $\alpha_s$ = 강결합상수

3단계. 상수 대입

m_tau = 1776.86 MeV (타우 질량)
7/3 = 2.3333...
alpha_s = 0.1179
alpha_s^2 = 0.01390
2 * alpha_s^2 / pi = 0.008851

4단계. 도메인 변환

$$m_b = 1776.86 \times 2.3333 \times (1 + 0.008851)$$ $$= 1776.86 \times 2.3333 \times 1.008851$$ $$= 4183\;\text{MeV}$$ 타우에서 Georgi-Jarlskog 변환 후 2차 QCD 보정.

5단계. 발견

도출값: $m_b = 4183$ MeV 측정값: $m_b = 4180 \pm 30$ MeV (PDG $\overline{\text{MS}}$) 오차: 0.069%

A급 적중. $m_b/m_\tau = 7/3$이 깨끗하게 성립한다. Georgi-Jarlskog 인자의 기원을 CAS 상태/단계 비율로 설명한다. SU(5) GUT에서 경험적으로 도입된 $7/3$이 반야프레임에서는 CAS의 구조적 필연이다.

라운드 5. down 쿼크 질량 (D-72)

down은 down-type 1세대 쿼크다. 같은 세대의 전자와 짝을 이룬다. 가장 가벼운 쿼크 중 하나이며, 비섭동 QCD 효과가 가장 크다.

1단계. 반야식

$$\delta^2 = (\text{time} + \text{space})^2 + (\text{observer} + \text{superposition})^2$$ down-type 1세대: 전자에서 CAS 전체 상태수로 변환.

1세대 down-type은 CAS의 전체 상태 공간과 결합한다. CAS 3단계 $\times$ 3세대 = $3^2 = 9$개의 전체 상태. 여기에 강력 보정 $\alpha_s$가 더해진다.

2단계. 노름 치환

전자 질량을 기준 노름으로 선택한다. 변환 인자는 $(9 + \alpha_s)$.

$$m_d = m_e \times (9 + \alpha_s)$$ $9 = 3^2$ = CAS 전체 상태수, $\alpha_s$ = 강력 1차 보정

$9$는 CAS의 전체 상태수 $3^2$이다. 1세대에서는 Georgi-Jarlskog $7/3$ 대신 전체 상태 공간이 열린다. $\alpha_s$는 강력 결합이 1차로 기여하는 항이다.

3단계. 상수 대입

m_e = 0.51100 MeV (전자 질량)
alpha_s = 0.1179
9 + alpha_s = 9.1179

4단계. 도메인 변환

$$m_d = 0.51100 \times 9.1179$$ $$= 4.661\;\text{MeV}$$ 전자에서 CAS 전체 상태수 변환.

5단계. 발견

도출값: $m_d = 4.661$ MeV 측정값: $m_d = 4.67 \pm 0.5$ MeV (PDG $\overline{\text{MS}}$, 2 GeV) 오차: 0.18%

A급 적중. down 질량은 전자에 CAS 전체 상태수 $9$를 곱한 것이다. $\alpha_s$ 보정까지 포함하면 0.18% 이내. 1세대 down-type의 변환 규칙이 2, 3세대($7/3$)와 다른 이유는 1세대에서 CAS 전체 상태 공간이 열리기 때문이다.

부산물

up-type 사슬: $t \to c \to u$

$$m_t / m_c = 1/\alpha \approx 137$$ $$m_c / m_u \approx 1/\alpha_s^3$$ up-type 세대 간 질량비는 Compare 비용의 거듭제곱이다.

3세대$\to$2세대는 전자기적 Compare 비용 $\alpha$, 2세대$\to$1세대는 강력 Compare 비용 $\alpha_s^3$이 지배한다. 세대가 내려갈수록 강력이 지배적이 된다.

Georgi-Jarlskog 인자 = CAS 상태/단계

$$\frac{7}{3} = \frac{\text{CAS 가능 상태수 (3색 + 3반색 + 1무색)}}{\text{CAS 단계수 (Read, Compare, Swap)}}$$ SU(5) GUT에서 경험적으로 도입된 $7/3$의 기원.

Georgi-Jarlskog(1979)는 SU(5) GUT에서 $m_b/m_\tau = 3$을 설명하기 위해 45-차원 힉스 표현을 도입했다. 그 과정에서 $7/3$ 비율이 나온다. 반야프레임에서 이것은 CAS의 구조적 비율이다. 45-차원이 아니라 $7/3$이라는 숫자 자체가 본질이다.

보편적 2차 보정: bracket DOF $\times$ $\alpha_s^2/\pi$

$$\text{2차 보정} = \frac{n \cdot \alpha_s^2}{\pi}$$ $n = 2$ (bracket DOF: observer + superposition), $1/\pi$ (위상 평균)

strange, bottom 모두 동일한 형태의 2차 보정이 적용된다. $n=2$는 반야식의 bracket 자유도(observer + superposition)에서 온다. $1/\pi$는 원형 위상 공간의 평균이다. 이 보정 구조가 모든 down-type 쿼크에 보편적으로 적용된다.

총괄

항목	공식	도출값	측정값	오차	등급
D-60: charm	$(v/\sqrt{2})\alpha$	1270.5 MeV	$1270 \pm 20$ MeV	0.04%	S급
D-61: strange	$m_\mu(1-\alpha_s)(1+\alpha_s^2/2\pi)$	93.37 MeV	$93.4 \pm 0.8$ MeV	0.032%	S급
D-70: top	$(v/\sqrt{2})(1-(2/9)\alpha_s/\pi)$	172648 MeV	$172760 \pm 300$ MeV	0.065%	A급
D-71: bottom	$m_\tau(7/3)(1+2\alpha_s^2/\pi)$	4183 MeV	$4180 \pm 30$ MeV	0.069%	A급
D-72: down	$m_e(9+\alpha_s)$	4.661 MeV	$4.67 \pm 0.5$ MeV	0.18%	A급

부산물	내용	상태
up-type 사슬	$m_t/m_c = 1/\alpha$, $m_c/m_u \sim 1/\alpha_s^3$	발견
Georgi-Jarlskog	$7/3$ = CAS 상태수/단계수	발견
보편적 2차 보정	bracket DOF(2) $\times$ $\alpha_s^2/\pi$	발견